Вылиток А.А., Грацианова Т.Ю.
Сложение и вычитание, установка  флагов

Определим операции сложения и вычитания на множестве битовых наборов длины k. Пусть  x и y – битовые наборы. Перенумеруем биты наборов справа налево от 0 до k-1. Через zi будем обозначать i-й бит набора z,  zi{0,1}. Для определения результатов (суммы и разности) воспользуемся некоторыми логическими операциями (дизъюнкция, конъюнкция, отрицание, сложение по модулю два), интерпретируя 0 как ложь, 1 как истину.
Суммой (соответственно, разностью) битовых наборов x и y назовем набор z, разряды которого определяются следующими соотношениями (попутно определим набор величин ci , i=0,…,k ,  ci{0,1}, где ci означает наличие (при ci=1) или отсутствие (при ci=0) переноса единицы в i-й разряд, а в случае вычитания  – заёма из i-го разряда):

Здесь  означает операцию сложения по модулю два,  – дизъюнкцию, знак конъюнкции (умножения) опущен. 
Если рассматривать битовые наборы как представление беззнаковых целых чисел или знаковых в дополнительном коде, то определенные выше операции над битовыми наборами реализуют сложение и вычитание целых чисел по модулю 2k. Во многих ЭВМ схемы сложения и вычитания  чисел устроены именно так. Поскольку при подобных операциях результат может быть искажен (из-за переполнения мантиссы), для отслеживания этой ситуации одновременно с результатом  устанавливаются специальные флаги. 
Флаг – это бит, принимающий значение 1 ("флаг установлен"), если выполнено некоторое условие, и значение 0 ("флаг сброшен") в противном случае. Наиболее употребительны флаги: CF (carry flag, флаг переноса; устанавливается при искажении результата операции над числами без знака, например, полученная сумма "не умещается" в k-разрядную ячейку), OF (overflow flag, флаг переполнения; фиксирует искажение результата операции над знаковыми числами), ZF (zero flag, флаг нуля; фиксирует нулевой результат), SF (sign flag, флаг знака; устанавливается в 1, если в операции над знаковыми числами получился отрицательный результат).
Заметим, что сложение и вычитание битовых наборов приводит к установке значений всех флагов, независимо от того, трактуем мы эти наборы как беззнаковые числа или  как числа со знаком. (Для анализа результата в знаковом случае бесполезен CF, в беззнаковом бесполезны OF и SF).
Сформулируем правила формирования значений флагов в терминах битовых наборов. В результате сложения или вычитания флаги CF, SF, ZF, OF получают следующие значения:

	

Горизонтальная черта сверху (надчеркивание) означает логическое отрицание.
Правила установки значений флагов можно определить и в терминах беззнаковых или знаковых (в дополнительном коде) чисел. В следующей таблице наборы x, y, и z интерпретируются как числа (со знаком или без знака), набор z — сумма или разность (по модулю 2k) наборов x и y, знаки +, – означают обычные (не по модулю 2k) операции сложения и вычитания над целыми числами.
Флаг	Значения флага в терминах	
	беззнаковых чисел	знаковых чисел	
	0	1	0	1	
ZF	z  0	z = 0	z  0	z = 0	
SF	z[0, 2k–1–1]	z[2k–1, 2k–1]	z  0	z < 0	
CF	при сложении:
x+ y < 2k

при вычитании:
x  y	при сложении:
x+ y  2k

при вычитании:
x < y	при сложении:
x  0, у  0 или
  xу 0, x+ y < 0
при вычитании:
x< 0, у  0 или
x  у  0 или 0  x  у	при сложении:
x < 0, у < 0 или
xу < 0, x+ y  0
при вычитании:
x  0, у < 0 или
x< у < 0 или 0  x< у	
OF	при сложении:
x, y, z< ()2k–1 или
x ()2k–1  (>) y 
при вычитании:
x, y  ()2k–1 или
x, z  ()2k–1,
y  ()2k–1
	при сложении:
x, y  ()2k–1,
z  (<)2k–1
при вычитании:
y, z  ()2k–1,
x  ()2k–1
	при сложении и вычитании:

–2k–1 x ± y < 2k–1

	при сложении и вычитании:

x ± y < –2k–1 или
x ± y  2k–1

Проверка условий с помощью вычитания и флагов
Практически во всех типах ЭВМ существуют команды перехода по условию. Многие такие команды укладываются в схему "Если op1 op2, то переход по адресу A",  где op1, op2 – операнды (битовые наборы длины k),  – одна из операций отношения:  б , б ,  б , б ,  б ,  б , зн , зн ,  зн , зн ,  зн ,  зн (здесь индекс "б" означает, что операнды трактуются как числа без знака, "зн" – со знаком). 
Пусть для представления знаковых чисел используется дополнительный код. Приведем метод, позволяющий проверить истинность  условия op1 op2  по  значениям флагов (OF, CF, SF, ZF) , получаемым при вычитании op1– op2 по модулю 2k .
Поскольку разность (по модулю 2k) двух одинаковых чисел (знаковых или беззнаковых) равна нулю, разность  неравных чисел отлична от нуля и флаг ZF  равен единице, если и только если результат операции – ноль, справедливы утверждения:
op1  op2  ZF 1,	op1  op2  ZF  0.	
Таким образом, для того чтобы установить равны или нет два числа, достаточно знать чему равен ZF. 
Поведение флагов при других соотношениях между операндами (кроме  и ) различно в знаковом и беззнаковом случаях. Поэтому рассмотрим эти случаи отдельно.
Вспомним, что в терминах беззнаковых чисел флаг CF  равен единице, если уменьшаемое меньше вычитаемого, и равен нулю в противном случае. Тогда можно утверждать, что:
op1  б op2  CF =1,	op1   б op2  CF = 0.	
Условия для остальных отношений можно логически выразить через уже установленные. Например,  op1 б op2  (op1   б op2 )  (op1  op2), где  означает конъюнкцию. Следовательно, op1 б op2  ( CF = 0)  (ZF = 0).
Для случая знаковых чисел нам важны флаги OF и SF. Посмотрим, какие значения принимают эти флаги в зависимости от знаков операндов и от соотношений между операндами:
Знак  op1	Знак  op2	Возможное при данных знаках соотношение	Возможные значения флагов при данном соотношении 	
			OF	SF	
+	+		0	1	
			0	0	
+	–		0	0	
			1	1	
–	+		0	1	
			1	0	
–	–		0	1	
			0	0	
Проанализируем  эту таблицу. Заметим, что множества пар значений флагов (OF,SF) для отношений  и  не пересекаются, а их объединение дает все возможные пары из нулей и единиц. Следовательно, по паре значений (OF,SF) можно определить, какое из двух взаимоисключающих соотношений ( или ) выполняется. В случае  op1  op2 имеем: либо OF=0 и SF=1, либо OF=1 и SF=0, или, короче, OFSF. В случае op1  op2 справедливо равенство OF=SF. Таким образом, можно утверждать:
op1  зн op2  OF  SF,	op1   зн op2  OF = SF	
Подытожим полученные результаты в виде таблицы.
Соотношение op1 op2	Критерий истинности данного соотношения в терминах значений флагов после операции вычитания op1– op2 по модулю 2k	
	для чисел со знаком	для чисел без знака	
=	ZF = 1	ZF = 1	
	ZF = 0	ZF = 0	
	OF  SF	CF = 1	
	OF = SF	CF = 0	
	(OF = SF)  (ZF = 0)	(CF = 0)  (ZF = 0)	
	(OF  SF)  ( ZF = 1)	(CF = 1)  ( ZF = 1)	

Примеры
Пусть к=8, то есть числа умещаются в байт. Диапазон этих чисел –128 до 127 для знаковых и от 0 до 255 для беззнаковых. 

1 способ. Двоичная арифметика.
Переведем числа в двоичную систему счисления и произведем арифметические действия  по правилам двоичной арифметики

Сумма
50+100=150 – беззнаковые
50+100= -106 – знаковые  		200+100=44 – беззнаковые
  -56+100=44 – знаковые  	
	0	0	1	1	0	0	1	0			1	1	0	0	1	0	0	0	
	0	1	1	0	0	1	0	0			0	1	1	0	0	1	0	0	
	1	0	0	1	0	1	1	0		1	0	0	1	0	1	1	0	0	
CF	SF									CF	SF								
	
Сумма может уместиться в байт (как в первом случае) и не уместиться, как во втором. Этот дополнительный самый левый бит в получившемся наборе – значение CF. Напомним также, что  суммой двух битовых наборов являются только 8 разрядов; получившийся во втором случае дополнительный (самый старший разряд)  в число не входит (это и есть сложение по   модулю  256), потому появление этого бита и свидетельствует о неправильности результата, беззнаковом переполнении.  В первом примере CF=0 (результат для беззнаковых чисел правильный), во втором CF=1 (результат в байт не уместился, для беззнаковых чисел он неверный).
Самый левый разряд 8-битового набора является флагом SF.  В первом примере SF=1, во втором SF=0
Чтобы установить флаг ZF, надо просмотреть все 8 битов суммы. ZF=1 только если все они равны нулю.  У нас в обоих случаях  ZF=0.
Чуть сложнее вычисляется флаг OF.  Для его установки надо посмотреть старшие (8-е, «знаковые») биты слагаемых и суммы. Если знакомые биты слагаемых разные, то OF=0 (при сложении чисел разных знаков знакового переполнения  быть не может, результат всегда правильный). Если знаковые биты слагаемых одинаковые, то OF=0 если у суммы знаковый бит такой же (то есть при сложении чисел с одинаковым знаком результат имеет тот же знак, знаковый результат в этом случае верный). Если же знак у суммы другой, значит, произошло знаковое переполнение, результат знакового сложения неверный OF=1.
В первом примере OF=1, у слагаемых на 8 месте – нули, а у результата – 1, значит, результат неверный. Во втором случае у слагаемых знаки разные, OF=0, знаковый результат верный.

Разность
  50-100=206 – беззнаковые
50-100= -50 – знаковые  		200-100=100 – беззнаковые
  -56-100=100 – знаковые  	
1	0	0	1	1	0	0	1	0			1	1	0	0	1	0	0	0	
	0	1	1	0	0	1	0	0			0	1	1	0	0	1	0	0	
	1	1	0	0	1	1	1	0			0	1	1	0	0	1	0	0	
CF	SF									CF	SF								

Флаги 	SF и ZF определяются точно так же, как при сложении. У нас в обоих примерах ZF=0. В первом SF=1, во втором  SF=0.
Флаг CF – это дополнительный левый бит, который приходится подставить к уменьшаемому, чтобы «занять» единичку. У нас в первом примере CF=1, вычитание производится не из заданного числа, а из числа, которое его на 256 больше, беззнаковый результат, соответственно, получается неправильный. Во втором примере CF=0, результат верный.
Для вычисления OF смотрят на знаковые биты заданных чисел  и результата. Если знаки у уменьшаемого и вычитаемого одинаковые, знакового переполнения произойти не может, OF=0, результат знакового вычитания правильный. Это мы можем видеть в первом примере.  Если же знаки разные, знаковый результат будет верным, только если он совпадает по знаку с уменьшаемым (с первым числом). Во втором примере это не так и, следовательно,  OF=1, знаковый  результат   неверный.	

Примерно так флаги устанавливаются компьютером: вычисляются исходя из значений некоторых битов в двоичном представлении чисел. А мы уже по этим флагам можем судить о правильности результата при данной операции для знаковых или беззнаковых чисел. Для нас же этот способ не всегда удобен, мы не особенно привыкли к двоичной арифметике. Для быстрого вычисления флагов можно пользоваться способом «обратным» компьютерному: посмотреть на результат, правильный ли он для каждого представления чисел.
		
2 способ. Десятичная арифметика.	 
Представим числа двумя способами: в знаковом и беззнаковом виде, для каждого вида произведем арифметические операции по модулю 256 и оценим результат.
Сумма
В беззнаковом виде 50+100=150 получаем: ZF=0 так как результат ненулевой, SF=1 так как он больше 127. Результат верный, значит CF=0  (этот флаг «отвечает» за беззнаковые числа). По знаковому виду 50+100=-106 еще раз проверяем ZF и SF (число отрицательное) и обнаруживает, что результат неверный, значит OF=1 (флаг знаковых чисел).
200+100=44 (сложение производится по модулю 256, 300-256=44). ZF=0, SF=0, а вот CF=1 так как результат неверный. В знаковом виде это выражение выглядит так:           -56+100=44, что является совершенно верным выражением, поэтому OF=0
Разность
Для первого примера имеем   50-100=206 (беззнаковые) или –50 (знаковое). Отсюда ZF=0, SF=1, для беззнаковых результат неверный, а для знаковых – верный, следовательно CF=1, OF=0 .
Второй пример в беззнаковом виде выглядит так: 200-100=100 (результат верный), и так в знаковом: -56-100=100 (результат неверный). Следовательно, ZF=0, SF=0, CF=0, OF=1